#2: 차원과 운동

[서문]

안녕하세요 정리장 입니다.
다음의 글은 대학교 (일반 물리/화학/생물 등) 과학을 다루고 있습니다.
이 링크의 글을 먼저 읽어보시면 이해하시기 수월할껍니다.

http://schrodingerpiano.tistory.com/notice/11 

[본문]

목차
1. 차원
2. 변위
3. 속도
4. 가속도
5. 상대운동
6. 등가속도 운동
7. 포물선 운동

1. 차원
정의: 같은 물리학적 성질을 가지는 것들을 분류하기 위한 방법
특징: 질량을 M, 길이를 L, 시간을 T로 하여 유도단위를 다음과 같은 꼴로 나타냄 $$[M^a L^b T^c]$$
특성: MLT(질량 길이 시간)계가 있고 FLT(힘 길이 시간)계가 있음
활용: 밀도의 차원: $$[M^-1 L^3] \quad ( 부피=길이^3 /질량)$$

2. 변위
정의: 위치의 변화를 나타낸 물리량
특징: 위치변화량을 나타내는 상태함수이자 벡터값
활용: $$\Delta x={x}_{2} - {x}_{1}$$

3. 속도
정의: 시간에 대한 위치 변화(변위)율
특징: 변위와 시간에 영향을 받음 $$차원: \quad [LT^-1]$$
특성:$$평균속도 - {v}_{avg}=\frac{\Delta s}{\Delta t} \quad (2차원 - \overrightarrow {{v}_{avg}}=\frac{ \Delta \overrightarrow{r} }{ \Delta t }=\frac{ \overrightarrow{ {r}_{2} } - \overrightarrow{ {r}_{1} }}{ {t}_{2} - {t}_{1} })$$
$$순간속도 - \lim _{ \Delta t \rightarrow 0 }{ \frac{\Delta x}{\Delta t} }=\frac {dx}{dt} $$

변위 시간 그래프를 줄여서 s -t 그래프라고도 한다
여기서 접선의 기울기는 순간속력이며 그래프 위의 두 점을 찍어 이으면 그 기울기가 두 점이 가지는 시간의 차에 대해 평균속도가 된다
주의할 점은 델타(삼각형) t는 그래프 상의 값과 같지 않다는 것 이다.

4. 가속도
정의: 시간에 따른 속도 변화율 (속도는 시간에 따른 위치 변화율)
특징: $$ 차원 - [LT^{-2}], (m/s^2) $$
특성:$$평균가속도 - {a}_{avg}=\frac{\Delta v}{\Delta t} \quad (2차원 - \overrightarrow {{a}_{avg}}=\frac{ \Delta \overrightarrow{v} }{ \Delta t }=\frac{ \overrightarrow{ {v}_{2} } - \overrightarrow{ {v}_{1} }}{ {t}_{2} - {t}_{1} })$$

$$순간가속도 - \lim _{ \Delta t \rightarrow 0 }{ \frac{\Delta v}{\Delta t} }=\frac {dv}{dt} $$

2차원 운동에서 가속도는 임의의 두 점에서의 가속도를 평행이동시켜 벡터의 뺄셈으로 구한다.
그림에 나와있는 r 또한 2차원운동에서 속력을 구하기 위해 사용하는 것으로 벡터의 뺄셈으로 구하면 된다.

5. 상대운동
정의: 비관성 기준계에서 다른 비관성 기준계를 관찰할 때의 속도/ 가속도
특징: 상대운동과 절대운동의 차이는 비관성 기준계 / 관성 기준계의 차이이다
특성: $$상대속도 - \overrightarrow{ {v}_{AB} }=\overrightarrow{ {v}_{B} }- \overrightarrow { {v}_{A} }$$
$$상대 가속도 - \overrightarrow{ {a}_{AB} }=\overrightarrow{ {a}_{B} } - \overrightarrow{ {a}_{A} }$$
활용: A가 (-) 방향으로 20km/h, B가 (+) 방향으로 80km/h 속력으로 등속직선운동 하고 있을 때 A에서 바라본 B의 속력은 $$\overrightarrow{ {v}_{AB} }=\overrightarrow{ {v}_{B} }- \overrightarrow { {v}_{A} } \\ \overrightarrow{ {v}_{AB} }=(80km/h)-( -20km/h) \\ \therefore 100km/h$$

6. 등가속도 운동(=등가속도 직선운동)
정의: 가속도가 같은 운동
특징: 벡터의 방향이 변하지 않기에 직선운동한다
특성: $$v={v}_{0} + at \\ s={v}_{0}t+\frac{1}{2} at^2$$
위 두 식은 외워두는게 좋으나 공식을 활용하기 위해서는 아래처럼 외울 것
$$v=\overrightarrow{{v}_{0}} + \overrightarrow{a}t \\ s=\overrightarrow{{v}_{0}}t+\frac{1}{2} \overrightarrow{a}t^2$$
그리고 이 두 식을 이용해서 시간이라는 변수를 제거한 식이 탄생
$$\frac{v-{v}_{0}}{a}=t, \quad s={v}_{0}t+\frac{1}{2} at^2 \\ s={v}_{0}\frac{v-{v}_{0}}{a}+\frac{1}{2} a(\frac{v-{v}_{0}}{a})^2 \\ \therefore 2as=v^2 - {v}_{0}^2$$
a는 벡터값이므로 다음과 같음
$$2 \overrightarrow{a} s=v^2 - {v}_{0}^2$$
(벡터의 제곱은 내적이라는데 잘 이해를 못했으니 그냥 뺌)

7. 포물선 운동
정의: 비스듬히 던진 물체의 운동
특징: 연직방향은 투상운동(등가속도 직선운동중 가속도가 -g인 운동), 수평방향은 등속도 운동
특성:
$$ x축 방향 속도: {v}_{x}={v}_{0} cos \theta \\ y축 방향 속도: {v}_{y}={v}_{0} sin \theta -gt $$
활용: $$최고점 도달시간(T): {v}_{y}=0 \\최고점 높이(H): -2gs=-({v}_{0}sin\theta)^2 \\ 수평도달거리(R): {v}_{0} cos \theta \times 2T=R $$
적당히 대입하면 포물선 운동에 대한 거의 모든 값을 구할 수 있는 마법의 공식들이다.
사실 포물선운동에 대한 공식들은 몇개 더 있는데, 사실 포물선운동이 공식을 다 외워도 안풀리는 경우가 허다하다.
그럴땐 y축방향 속도가 0인 지점에서 최고점의 도달시간과 높이를 구하고, 최고점 도달시간의 두배에서 x축 방향 속도와 곱해주면 수평도달거리가 나옴을 이용해 구하자.

끝